Matematika érettségi követelmények és érettségi feladatsor archívum

• Ismerje és használja a halmazok megadásának különböző módjait, a halmaz elemének fogalmát.
• Definiálja és alkalmazza: halmazok egyenlősége, részhalmaz, üres halmaz, véges és végtelen halmaz, komplementer halmaz.
• Ismerje és alkalmazza a halmazműveleteket: egyesítés, metszet, különbség. Tudjon koordináta-rendszerben ábrázolni egyszerűbb ponthalmazokat.
• Véges halmazok elemeinek száma.

• Tudjon egyszerű matematikai szövegeket értelmezni. Ismerje és alkalmazza a kijelentés (állítás, ítélet) fogalmát. Értse és egyszerű feladatokban alkalmazza az állítás tagadása műveletet.
• Ismerje az „és", a „(megengedő) vagy" logikai jelentését, tudja összekapcsolni azokat a halmazműveletekkel. Értse és használja helyesen az implikációt és az ekvivalenciát. Használja helyesen a „minden", „van olyan" kvantorokat.
• Tudjon definíciókat, tételeket pontosan megfogalmazni. Használja és alkalmazza feladatokban a „szükséges", az „elégséges" és a „szükséges és elégséges" feltétel fogalmát.

• Tudjon egyszerű sorba rendezési, kiválasztási és egyéb kombinatorikai feladatokat megoldani.
• Tudja kiszámolni a binomiális együtthatókat.

• Tudjon konkrét szituációkat szemléltetni, és egyszerű feladatokat megoldani gráfok segítségével.

• Tudjon alapműveleteket biztonságosan elvégezni (zsebszámológéppel is).
• Ismerje és használja feladatokban az alapműveletek műveleti azonosságait (kommutativitás, asszociativitás, disztributivitás).

• Ismerje, tudja definiálni és alkalmazni az oszthatósági alapfogalmakat (osztó, többszörös, prímszám, összetett szám). Tudjon természetes számokat prímtényezőkre bontani, LNKO és LKKT kiszámítása.
• Definiálja és alkalmazza feladatokban a relatív prímszámokat. Tudja a számelmélet alaptételét alkalmazni feladatokban.
• Ismerje a 10 hatványaira, illetve a 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 számokra vonatkozó oszthatósági szabályokat.
• Tudjon más számrendszerek létezéséről. Tudja a számokat átírni 10-es alapú számrendszerből 2-es alapú számrendszerbe és viszont.

• Tudja definiálni a racionális számot és ismerje az irracionális szám fogalmát.
• Adott n (n∈ℕ) esetén tudja eldönteni, hogy √n irracionális szám-e.

• Ismerje a valós számkör felépítését (ℕ, ℤ, ℚ, ℚ*, ℝ), valamint a valós számok és a számegyenes kapcsolatát.
• Tudjon ábrázolni számokat a számegyenesen. Tudja az abszolútérték definícióját.
• Ismerje adott szám normálalakjának felírási módját, tudjon számolni a normálalakkal.

• A hatványozás értelmezése racionális kitevő esetén. Ismerje és használja a hatványozás azonosságait.
• Definiálja és használja az n-edik gyök (ⁿ√a) fogalmát. Ismerje és alkalmazza a négyzetgyökvonás azonosságait.
• Definiálja és használja feladatok megoldásában a logaritmus fogalmát, valamint a logaritmus azonosságait. Tudjon áttérni más alapú logaritmusra.

• Ismerje a polinom fokszámát, fokszám szerint rendezett alakját.
• Tudja alkalmazni feladatokban a következő kifejezések kifejtését, illetve szorzattá alakítását: (a+b)², (a−b)², (a+b)³, (a−b)³, a²−b², a³−b³.
• Tudjon algebrai kifejezésekkel egyszerű műveleteket végrehajtani: összevonás, szorzás, osztás, szorzattá alakítás kiemeléssel, nevezetes azonosságok alkalmazása.

• Tudja az egyenes és a fordított arányosság definícióját és grafikus ábrázolásukat.
• Tudjon arányossági feladatokat megoldani.
• Százalékszámítással kapcsolatos feladatok megoldása.

• Ismerje az alaphalmaz és a megoldáshalmaz fogalmát.
• Alkalmazza a különböző egyenletmegoldási módszereket: mérlegelv, grafikus megoldás, ekvivalens átalakítások.
• Tudjon elsőfokú egyismeretlenes egyenleteket megoldani; kétismeretlenes elsőfokú egyenletrendszer megoldása.
• Ismerje az egyismeretlenes másodfokú egyenlet általános alakját, a diszkrimináns fogalmát. Ismerje és alkalmazza a megoldóképletet.
• Használja a teljes négyzetté alakítás módszerét. Alkalmazza feladatokban a gyöktényezős alakot.
• Tudjon törtes egyenleteket, másodfokú egyenletrendszereket, másodfokúra visszavezethető egyenleteket megoldani.
• Tudjon √(ax+b)=cx+d és |ax+b|=c típusú egyenleteket megoldani.
• Exponenciális, logaritmikus és trigonometrikus egyenletek: közvetlen alkalmazás.
• Egyenlőtlenségek: alaptulajdonságok; egyszerű első- és másodfokú egyenlőtlenségek megoldása.

• Két pozitív szám számtani és mértani közepének fogalma, kapcsolatuk, használatuk.

• A függvény matematikai fogalma. Ismerje a függvénytani alapfogalmakat: értelmezési tartomány, hozzárendelés, képhalmaz, helyettesítési érték, értékkészlet.
• Tudjon szövegesen megfogalmazott függvényt képlettel megadni. Tudjon helyettesítési értéket számítani.
• Ismerje az egy-egyértelmű megfeleltetés fogalmát. Ismerje és alkalmazza a függvényeket gyakorlati problémák megoldásánál.
• A függvény inverzének fogalma, szemléletes értelmezése (pl. az exponenciális és a logaritmus függvény).

• Ismerje, tudja ábrázolni és jellemezni az alapvető függvényeket: f(x)=ax+b; f(x)=x²; f(x)=ax²+bx+c; f(x)=x³; f(x)=√x; f(x)=|x|; f(x)=a/x; szinusz, koszinusz, tangens; f(x)=aˣ; f(x)=logₐx.
• Tudjon értéktáblázat és képlet alapján függvényt ábrázolni, illetve adatokat leolvasni a grafikonról.
• Tudjon transzformációkat igénylő függvényeket ábrázolni: f(x)+c; f(x+c); c·f(x); f(cx).
• Egyszerű függvények jellemzése: értékkészlet, zérushely, növekedés, fogyás, szélsőérték, periodicitás, paritás.

• Ismerje a számsorozat fogalmát és használja a különböző megadási módjait.
• Tudjon feladatokat megoldani a számtani és mértani sorozatok témaköréből, ahol az aₙ-re, illetve az Sₙ-re vonatkozó összefüggéseket kell használni.
• Tudja a kamatos kamatra vonatkozó képletet használni, s abból bármelyik ismeretlen adatot kiszámolni.

Nincs középszintű követelmény.

• Ismerje és használja megfelelően az alapfogalom, axióma, definiált fogalom, bizonyított tétel fogalmát.
• Ismerje a térelemeket és a szög fogalmát; a szögek nagyság szerinti osztályozását és a nevezetes szögpárokat.
• Tudja a térelemek távolságára és szögére (pont–egyenes, pont–sík, párhuzamos egyenesek stb.) vonatkozó meghatározásokat.
• Tudja a kör, gömb, szakaszfelező merőleges, szögfelező fogalmát. Használja a fogalmakat feladatmegoldásokban.

• Ismerje a síkbeli egybevágósági transzformációk (eltolás, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás) leírását, tulajdonságaikat.
• Alkalmazza a transzformációkat feladatokban. Ismerje és tudja alkalmazni a háromszögek egybevágósági alapeseteit.
• Ismerje fel és használja feladatokban a különböző alakzatok szimmetriáit.
• Alkalmazza a középpontos nagyítást, kicsinyítést. Szakasz adott arányú felosztása.
• Hasonló alakzatok felismerése (háromszögek hasonlósági alapesetei), arány felírása.
• Tudja és alkalmazza feladatokban a hasonló síkidomok területének arányáról és a hasonló testek felszínének és térfogatának arányáról szóló tételeket.

• Ismerje a síkidomok, testek csoportosítását különböző szempontok szerint.
• Tudja csoportosítani a háromszögeket oldalak és szögek szerint. Ismerje és alkalmazza az alapvető összefüggéseket háromszögek oldalai, szögei között.
• Ismerje és alkalmazza speciális háromszögek tulajdonságait.
• Tudja a háromszög nevezetes vonalaira, pontjaira és köreire vonatkozó definíciókat, tételeket (oldalfelező merőleges, szögfelező, magasságvonal, súlyvonal, középvonal, körülírt, illetve beírt kör).
• Ismerje és alkalmazza a Pitagorasz-tételt és megfordítását. Ismerje és alkalmazza feladatokban a magasság- és a befogótételt.
• Ismerje a négyszögek fajtáit (trapéz, paralelogramma, deltoid) és tulajdonságaikat.
• Konvex síknégyszög belső és külső szögeinek összege; konvex sokszögeknél az átlók száma, belső és külső szögösszegre vonatkozó tételek.
• A kör részeinek ismerete. Kör érintője, külső pontból húzott érintőszakaszok. A szög mérése fokban és radiánban.
• Középponti szög, körív és körcikk terület aránya. Thalész-tétel és megfordítása.
• Forgáshenger, forgáskúp, gúla, hasáb, gömb, csonkagúla, csonkakúp ismerete és alkalmazása.

• Ismerje és alkalmazza feladatokban: vektor fogalma, abszolútértéke, nullvektor, ellentett vektor.
• Vektorok összege, különbsége, vektor skalárszorosa; műveleti azonosságok.
• Vektor felbontása összetevőkre. Skaláris szorzat definíciója és tulajdonságai.
• Vektor koordinátái; vektorok összegének, különbségének, skalárral való szorzatának koordinátái.
• Skaláris szorzat kiszámítása koordinátákból. Vektorok alkalmazása feladatokban.

• Tudja hegyesszögek szögfüggvényeit derékszögű háromszög oldalarányaival definiálni, ismereteit alkalmazza feladatokban.
• Tudja a szögfüggvények általános definícióját.
• Tudja és alkalmazza a szögfüggvényekre vonatkozó alapvető összefüggéseket: pótszögek, kiegészítő szögek, negatív szög szögfüggvénye, pitagoraszi összefüggés.
• Tudjon hegyes szögek esetén szögfüggvényeket kifejezni egymásból.
• Ismerje és alkalmazza a nevezetes szögek (30°, 45°, 60°) szögfüggvényeit.
• Tudja és használja a szinusz- és a koszinusztételt. Tudjon számolásokat végezni általános háromszögben.

• Tudja (AB) vektor koordinátáit, abszolútértékét.
• Két pont távolságának, szakasz felezőpontjának és harmadoló pontjainak felírása, alkalmazása feladatokban.
• A háromszög súlypontja koordinátáinak felírása, alkalmazása.
• Tudja felírni különböző adatokkal meghatározott egyenesek egyenletét. Egyenesek metszéspontjának számítása.
• Ismerje egyenesek párhuzamosságának és merőlegességének koordinátageometriai feltételeit.
• Adott középpontú és sugarú körök egyenletének felírása. Kör középpontjának és sugarának meghatározása kétismeretlenes másodfokú egyenletből.
• Kör és egyenes metszéspontjának meghatározása. A kör adott pontjában húzott érintő egyenletének felírása.

• Ismerje a kerület és a terület szemléletes fogalmát.
• Háromszög területének kiszámítása különböző adatokból.
• Nevezetes négyszögek területének számítása. Szabályos sokszögek kerületének és területének számítása.
• Kör, körcikk, körszelet kerülete, területe. Kerület- és területszámítási feladatok.

• Ismerje a felszín és a térfogat szemléletes fogalmát.
• Hasáb, gúla, forgáshenger, forgáskúp, gömb, csonkagúla és csonkakúp felszínének és térfogatának kiszámítása képletbe való behelyettesítéssel.

• Tudjon adott adathalmazt szemléltetni; adathalmazt táblázatba rendezni és táblázattal megadott adatokat feldolgozni.
• Értse a véletlenszerű mintavétel fogalmát.
• Tudjon kördiagramot és oszlopdiagramot készíteni; adott diagramról információt kiolvasni.
• Tudja és alkalmazza: osztályba sorolás, gyakorisági diagram, relatív gyakoriság.
• Ismerje és alkalmazza: aritmetikai átlag (súlyozott számtani közép), medián (rendezett minta közepe), módusz (leggyakoribb érték).
• Ismerje és használja: terjedelem, átlagos abszolút eltérés, szórás. Szórás kiszámolása számológéppel.
• Tudjon adathalmazokat összehasonlítani a tanult statisztikai mutatók segítségével.

• Véges sok kimenetel esetén szimmetriamegfontolásokkal számítható valószínűségek egyszerű feladatokban.
• Esemény, eseménytér konkrét példák esetén.
• A klasszikus (Laplace)-modell ismerete; a relatív gyakoriság és a valószínűség kapcsolata.
• Valószínűségek kiszámítása visszatevéses mintavétel esetén; binomiális eloszlás.